第三章 数学活动 北京市第七十一中学 马赢 教学背景分析 数学活动属于“综合与实践”，核心目标是积累学生直接的数学活动经验、培养学生的数学思考方式. 教材活动1的内容选自新闻报道中的统计数据，让学生结合统计报告中的内容，运用一元一次方程求出某些数据，一方面可以锻炼运用方程解决实际问题的能力，另一方面引导学生发现新闻报道中的数学问题.根据收集的数据编题并用方程解它们，是要求较高的活动内容，它有较大开放性，有利于提高学生分析解决问题的能力.活动2是动手实验与动脑分析相结合的内容，通过简单实验发现一个基本力学原理——杠杆原理.据此确定的重点,初一上学期学生很感性，发现问题、提出问题的能力较弱，教师要有方向性启发，教师通过问题串、建立表格、同伴互助、小组交流、及时回顾反思、变式练习与作业，引导学生突破难点. 初一学生还没有形成独立的归纳能力，因此教师设计表格，学生采用内隐式学习，在填好表格后再找规律.另外，学生第一次进行实验，很可能因为兴奋而出现失控情况，因此教师应该提前安排具体操作步骤，并且及时表扬遵守纪律的小组。 教学目标 1.运用方程解决实际问题，关注新闻报道中隐含的数学问题，归纳出杠杆平衡原理 2.通过发散性问题，培养发现问题提出问题的意识.通过解题后回顾反思，培养思维的深刻性，体会化归思想. 3.通过实验探究，学习收集、处理数据的方法，提高分析和处理信息能力. 教学重难点 重点：运用一元一次方程知识解决现实生活中的问题与物理问题； 难点：发现新闻中的数学问题，分析处理实验数据、归纳出结论，数学的应用意识. 教学准备 教师准备多媒体PPT课件；教师使用实物投影仪展示学生活动成果；学生需每两人准备一根质地均匀的木杆，一些质量相同的小物体、一个支架和刻度尺.如果有条件，可以在物理实验室上，准备钩码、杠杆、铁架台、刻度尺. 教学过程设计 活动1：利用方程解决新闻中的数学问题 1.出示统计资料（见教科书第109页） 2.探究问题： （1）说说“增长8%”和“扣除价格因素，实际增长6.5%”的意思； （2）你能利用这些数据之间的关系从中再计算出一些新的数据吗？ 山水市前年居民的人均收入为多少元？你能计算出物价上涨的百分比吗？ 师生活动：学生仔细阅读，独立思考提炼出数学问题并交流.教师关注学生能否提出有效问题. 设计意图：问题（2）具有开放性，培养学生发现数学问题、提出问题的意识. （3）出示教材109页活动1的第2个问题. 解：（1）设山水市前年居民的人均收入为x元 （1+8%）x=11664 解得x=10800. （2）设去年售价为1000元的商品在前年的售价为x元 （1+1.5%）x=1000 解得x≈985. 答：略. 3.解题后回顾反思： （1）解决本题用到了什么知识？ （2）解决本题用到什么方法？ （3）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （4）与 交流，我发现了 . 师生活动：学生独立思考、交流、整理笔记. 设计意图：通过解题后回顾反思，积累直接的数学活动经验，促进学生合作交流的意识. 活动2：利用方程解决物理问题 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验： （1）在木杆中间栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； 师生活动：教师指出平衡的意义——物体保持相对静止状态、匀速直线运动状态或绕轴匀速转动状态.本节课中平衡特指水平静止状态. 设计意图：应该解释平衡的物理意义及本节课要求.应该由教师解释何谓平衡，因为这个核心概念本节课反复应用. （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b； 师生活动：两名学生一组，动手操作，观察，测量，记录（填充表格）. 教师巡视.在学生完成后追问：当右边小物体不动，当左面小物体增多时，还能否通过移动保持平衡？ 设计意图：培养猜想的意识 （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录. 根据记录你能发现什么规律？ 师生活动：学生动手操作，观察，测量，记录.学生分析，探索，归纳推理.教师巡视，提前设计好表格，请学生填写. 实验次数 小物体数 a与b值 n与a之间的关系 右 左 a b 第1次 1 1 第2次 1 2 第3次 1 3 第4次 1 4 … 第n次 1 n 师生共同总结规律：1.右边小物体数目、位置不变 2.左边小物体数目增多时，平衡时与支点位置越来越近. 教师追问：左面小物体数量与到支点的距离之间有什么关系？ 设计意图：初一学生还没有形成独立的归纳能力，因此教师设计表格，学生采用内隐式学习，在填好表格后再找规律. 如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡.设木杆长为lcm，支点为木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程. 解：l2 =xn 解得x =l 2n 答：略. 师生活动：学生两人一组，相互讲解归纳的结论.学生小组交流总结出解方程的方法.学生展示.教师巡视，倾听学生的交流讨论，关注学生能否归纳出结论、解出方程. 3.解题后回顾反思： （1）你能验证你得出的结论吗？ （2）解决本题用到什么知识？ （3）解决本题用到什么方法？ （4）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （5）与 交流，我发现了 . （6）试想，如果教科书中本题直接给出最后一段的问题，你认为是题目是变简单了还是变难？为什么？教材的实验起到了什么作用？ 师生活动：学生独立思考，学生回答，学生评价，教师补充得出：我们在解决具体问题时，如果在解答过程中，感到“进”有困难，或无路可进时，不妨逆向思维，考虑“以退为进”的解题策略.“退”就是从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象推到具体，从整体推到局部，退到保持特征的最简情形，处理特殊的对象，再归纳、联想，进而解决一般情形. 设计意图：渗透特殊到一般的思想 活动3：备选练习 为了给一本厚书标上页码，印刷工人用了2989个数字.这本书有多少页（选自《怎样解题》）？ 师生活动：学生独立思考，教师关注学生能否自己设计实验进行估算，教师适时提出问题串：你能估计出这本书的页码的范围吗？印一本有9页的书需要多少个数字？印一本有99页的书需要多少个数字？印一本有999页的书需要多少个数字？你能估计出这本书的页码的范围吗？你能利用方程解决本题吗？ 解：印一本有9页的书需要9个数字；印一本有99页的书需要9+（99-9）×2=189个数字；印一本有999页的书需要9+（99-9）×2+（999-99）×3=2889个数字.我们设问题中那本厚书有x页，则2889+4（x-999）=2989.解得x=1024. 设计意图：初看问题似乎很简单，可是却无从下手.将抽象问题具体化，教师提出问题串，将抽象问题具体化，利于学生归纳.本题请学生自己设计实验，进行估算之后，再利用方程解决. 活动4：总结归纳 1.完成表格后两列 报纸名称日期 内容 数学问题提炼 解答 统计资料表明，山水市去年居民的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%. 山水市前年居民的人均收入为多少元？物价上涨的百分比是多少？ 略 2.在特殊到一般的归纳过程中，我们借助了表格这个工具.我们如何检查归纳的结论是否正确？ 3.小组讨论自己的收获及可能遇到的困惑、解决策略并展示. 师生活动：教师给出第1题的表格的前两列，请学生独立补充完成后两列.第3题，学生独立思考，分组讨论，展示.教师关注学生的活动情况，并且随机请1人代表组内同学展示. 设计意图：培养学生归纳总结的能力和思维的条理性，引导学生在同伴的合作交流中，既展示自己的自信，又欣赏同伴的优点. 作业 1.写出自己本节课的收获及还可能存在问题的地方. 2.在报纸上收集一些统计数据，想一想利用这些数据之间的关系能否从中再计算出一些新数据. 报纸名称日期 内容 数学问题提炼 解答 教学反思 同伴点评：本课紧密围绕新课程标准的教学理念，给学生充足的时间经历活动，既关注直接活动经验的积累（学生经历了实验的整个过程），又关注数学思考方式的培养.培养思考方式主要体现在教师的追问、问题串及解后回顾反思上. 教师钻研教材，合理用教材教，有目的的进行了取舍.教材活动1直接呈现了问题，案例中教师在出示新闻材料后请学生思考其中的数学问题，利于培养学生发现问题、提出问题的意识，在总结归纳环节又以表格形式外化了这种思维,针对活动1的拓展问题，教师以表格作业形式留给学生；.在活动2中教师充分考虑了学情，通过设计表格降低了难度. 教师关注教学细节，解释了物理中的平衡的意义与本节课活动2中的平衡的意义.教师增加的练习为活动2的拓展延伸，学生在活动后对估算能力、问题特殊化思想、以退求进的解题策略会有更深的体会. 从学习方式上，本节课采用了同伴互助、小组合作和动手实践的学习方式.学生在合作中解决了遇到的障碍，体会到了集体的力量是巨大的，同时培养了学生的探索精神和实践能力. 另外，布置开放性作业是本节课的又一特点.教师引导学生用数学的眼光去看待自然，看待生活. 启发学生自己对本节课反思小结，进一步体现教师为主导，学生为主体的教育理念. 第三章 数学活动 北京市第七十一中学 马赢 教学背景分析 数学活动属于“综合与实践”，核心目标是积累学生直接的数学活动经验、培养学生的数学思考方式. 教材活动1的内容选自新闻报道中的统计数据，让学生结合统计报告中的内容，运用一元一次方程求出某些数据，一方面可以锻炼运用方程解决实际问题的能力，另一方面引导学生发现新闻报道中的数学问题.根据收集的数据编题并用方程解它们，是要求较高的活动内容，它有较大开放性，有利于提高学生分析解决问题的能力.活动2是动手实验与动脑分析相结合的内容，通过简单实验发现一个基本力学原理——杠杆原理.据此确定的重点,初一上学期学生很感性，发现问题、提出问题的能力较弱，教师要有方向性启发，教师通过问题串、建立表格、同伴互助、小组交流、及时回顾反思、变式练习与作业，引导学生突破难点. 初一学生还没有形成独立的归纳能力，因此教师设计表格，学生采用内隐式学习，在填好表格后再找规律.另外，学生第一次进行实验，很可能因为兴奋而出现失控情况，因此教师应该提前安排具体操作步骤，并且及时表扬遵守纪律的小组。 教学目标 1.运用方程解决实际问题，关注新闻报道中隐含的数学问题，归纳出杠杆平衡原理 2.通过发散性问题，培养发现问题提出问题的意识.通过解题后回顾反思，培养思维的深刻性，体会化归思想. 3.通过实验探究，学习收集、处理数据的方法，提高分析和处理信息能力. 教学重难点 重点：运用一元一次方程知识解决现实生活中的问题与物理问题； 难点：发现新闻中的数学问题，分析处理实验数据、归纳出结论，数学的应用意识. 教学准备 教师准备多媒体PPT课件；教师使用实物投影仪展示学生活动成果；学生需每两人准备一根质地均匀的木杆，一些质量相同的小物体、一个支架和刻度尺.如果有条件，可以在物理实验室上，准备钩码、杠杆、铁架台、刻度尺. 教学过程设计 活动1：利用方程解决新闻中的数学问题 1.出示统计资料（见教科书第109页） 2.探究问题： （1）说说“增长8%”和“扣除价格因素，实际增长6.5%”的意思； （2）你能利用这些数据之间的关系从中再计算出一些新的数据吗？ 山水市前年居民的人均收入为多少元？你能计算出物价上涨的百分比吗？ 师生活动：学生仔细阅读，独立思考提炼出数学问题并交流.教师关注学生能否提出有效问题. 设计意图：问题（2）具有开放性，培养学生发现数学问题、提出问题的意识. （3）出示教材109页活动1的第2个问题. 解：（1）设山水市前年居民的人均收入为x元 （1+8%）x=11664 解得x=10800. （2）设去年售价为1000元的商品在前年的售价为x元 （1+1.5%）x=1000 解得x≈985. 答：略. 3.解题后回顾反思： （1）解决本题用到了什么知识？ （2）解决本题用到什么方法？ （3）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （4）与 交流，我发现了 . 师生活动：学生独立思考、交流、整理笔记. 设计意图：通过解题后回顾反思，积累直接的数学活动经验，促进学生合作交流的意识. 活动2：利用方程解决物理问题 用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验： （1）在木杆中间栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； 师生活动：教师指出平衡的意义——物体保持相对静止状态、匀速直线运动状态或绕轴匀速转动状态.本节课中平衡特指水平静止状态. 设计意图：应该解释平衡的物理意义及本节课要求.应该由教师解释何谓平衡，因为这个核心概念本节课反复应用. （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离a与b； 师生活动：两名学生一组，动手操作，观察，测量，记录（填充表格）. 教师巡视.在学生完成后追问：当右边小物体不动，当左面小物体增多时，还能否通过移动保持平衡？ 设计意图：培养猜想的意识 （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录. 根据记录你能发现什么规律？ 师生活动：学生动手操作，观察，测量，记录.学生分析，探索，归纳推理.教师巡视，提前设计好表格，请学生填写. 实验次数 小物体数 a与b值 n与a之间的关系 右 左 a b 第1次 1 1 第2次 1 2 第3次 1 3 第4次 1 4 … 第n次 1 n 师生共同总结规律：1.右边小物体数目、位置不变 2.左边小物体数目增多时，平衡时与支点位置越来越近. 教师追问：左面小物体数量与到支点的距离之间有什么关系？ 设计意图：初一学生还没有形成独立的归纳能力，因此教师设计表格，学生采用内隐式学习，在填好表格后再找规律. 如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡.设木杆长为lcm，支点为木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为xcm，把n，l作为已知数，列出关于x的一元一次方程. 解：l2 =xn 解得x =l 2n 答：略. 师生活动：学生两人一组，相互讲解归纳的结论.学生小组交流总结出解方程的方法.学生展示.教师巡视，倾听学生的交流讨论，关注学生能否归纳出结论、解出方程. 3.解题后回顾反思： （1）你能验证你得出的结论吗？ （2）解决本题用到什么知识？ （3）解决本题用到什么方法？ （4）解决本题可能遇到的障碍是什么？如何解决？ （5）与 交流，我发现了 . （6）试想，如果教科书中本题直接给出最后一段的问题，你认为是题目是变简单了还是变难？为什么？教材的实验起到了什么作用？ 师生活动：学生独立思考，学生回答，学生评价，教师补充得出：我们在解决具体问题时，如果在解答过程中，感到“进”有困难，或无路可进时，不妨逆向思维，考虑“以退为进”的解题策略.“退”就是从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象推到具体，从整体推到局部，退到保持特征的最简情形，处理特殊的对象，再归纳、联想，进而解决一般情形. 设计意图：渗透特殊到一般的思想 活动3：备选练习 为了给一本厚书标上页码，印刷工人用了2989个数字.这本书有多少页（选自《怎样解题》）？ 师生活动：学生独立思考，教师关注学生能否自己设计实验进行估算，教师适时提出问题串：你能估计出这本书的页码的范围吗？印一本有9页的书需要多少个数字？印一本有99页的书需要多少个数字？印一本有999页的书需要多少个数字？你能估计出这本书的页码的范围吗？你能利用方程解决本题吗？ 解：印一本有9页的书需要9个数字；印一本有99页的书需要9+（99-9）×2=189个数字；印一本有999页的书需要9+（99-9）×2+（999-99）×3=2889个数字.我们设问题中那本厚书有x页，则2889+4（x-999）=2989.解得x=1024. 设计意图：初看问题似乎很简单，可是却无从下手.将抽象问题具体化，教师提出问题串，将抽象问题具体化，利于学生归纳.本题请学生自己设计实验，进行估算之后，再利用方程解决. 活动4：总结归纳 1.完成表格后两列 报纸名称日期 内容 数学问题提炼 解答 统计资料表明，山水市去年居民的人均收入为11664元，与前年相比增长8%，扣除价格上涨因素，实际增长6.5%. 山水市前年居民的人均收入为多少元？物价上涨的百分比是多少？ 略 2.在特殊到一般的归纳过程中，我们借助了表格这个工具.我们如何检查归纳的结论是否正确？ 3.小组讨论自己的收获及可能遇到的困惑、解决策略并展示. 师生活动：教师给出第1题的表格的前两列，请学生独立补充完成后两列.第3题，学生独立思考，分组讨论，展示.教师关注学生的活动情况，并且随机请1人代表组内同学展示. 设计意图：培养学生归纳总结的能力和思维的条理性，引导学生在同伴的合作交流中，既展示自己的自信，又欣赏同伴的优点. 作业 1.写出自己本节课的收获及还可能存在问题的地方. 2.在报纸上收集一些统计数据，想一想利新数据. 教学反思 同伴点评：本课紧密围绕新课程标准的教学理念，给学生充足的时间经历活动，既关注直接活动经验的积累（学生经历了实验的整个过程），又关注数学思考方式的培养.培养思考方式主要体现在教师的追问、问题串及解后回顾反思上. 教师钻研教材，合理用教材教，有目的的进行了取舍.教材活动1直接呈现了问题，案例中教师在出示新闻材料后请学生思考其中的数学问题，利于培养学生发现问题、提出问题的意识，在总结归纳环节又以表格形式外化了这种思维,针对活动1的拓展问题，教师以表格作业形式留给学生；.在活动2中教师充分考虑了学情，通过设计表格降低了难度. 教师关注教学细节，解释了物理中的平衡的意义与本节课活动2中的平衡的意义.教师增加的练习为活动2的拓展延伸，学生在活动后对估算能力、问题特殊化思想、以退求进的解题策略会有更深的体会. 从学习方式上，本节课采用了同伴互助、小组合作和动手实践的学习方式.学生在合作中解决了遇到的障碍，体会到了集体的力量是巨大的，同时培养了学生的探索精神和实践能力. 另外，布置开放性作业是本节课的又一特点.教师引导学生用数学的眼光去看待自然，看待生活. 启发学生自己对本节课反思小结，进一步体现教师为主导，学生为主体的教育理念. ^p
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