利用“六何”深度学习法指导课堂教学

彭瑛晶

【Summary】学生是教育教学的主体，数学教育的目的不仅是为了让学生掌握数

学知识，更是让学生能够在未来生活中有高效的学习能力，即学生的数学学科

核心素养.这是传统教学所不能达到的.通过“从何→是何→与何→如何→变何

→有何”的深度学习方式，可以让学生明白为什么学数学、怎样学数学、如何

用数学的问题，从而达到高中数学新课程标准的要求.

【Key】六何；深度学习；课堂教学

本文将利用“六何”认知链指导教师课堂教学从而引导学生深度学习.提出“六

何”深度学习法就是让学生明白数学问题及新知从哪儿来？——从何；所学新

知是什么？——是何；这些数学知识内部要素之间、要素与总体之间的联系与

区别——与何；学了这些知识应该怎样用？如何解决一些实际问题及现有数学

问题的解答——如何；当条件、情境发生变化时，结论又怎样变化？——变

何；最后有什么收获？——有何.该法能指导教师和学生更好地理解教材，让学

生明白为什么学数学，怎样学数学，如何用数学的问题，知其然知其所以然，

在深度学习中落实数学核心素养的培养.

以普通高中教科书数学必修一第一册人教（2019）A 版第5 章§5.2.1 三角函数

的概念为例.

1 新知从何而来？（从何）——创设情景，引出新知

高中已经学习了哪些基本初等函数？请大家回忆一下，我们研究这些函数的过

程是什么？（承上启下）本章引言告诉了我们生活中哪些周期变化现象？（鼓

励学生回答）

问题1 我们只要坐在摩天轮上，就可以周而复始地一直坐下去，如果把摩天轮

看成一个圆，我们看做点P，以水平位置OA 做起始位置，按逆时针方向旋转到

终止位置OP，形成一个角α，如何借助角α 的大小变化刻画点P 的位置变

化？（图1）我们可以用什么表示点P 的位置？

图1

设计意图 明确本章引言的重要性，通过阅读第五章的章头引言让学生明白本

章要学什么？从哪里来？到哪里去？从函数定义提问到研究函数的一般方法，

不仅为后面抽象概括出三角函数概念做铺垫，也是为了让学生梳理研究函数的

方法，体现大单元教学的重要性.通过研究摩天轮上点的运动，培养学生数学建

模的能力，从而为后续深度学习打下铺垫.

2 所学新知是什么？（是何）——观察分析，探究新知

问题2 既然我们借助角α 的大小刻画点P 的位置变化.当旋转角α=π6 时，

点P 的坐标是什么？你们如何求点P 的坐标？若旋转角α=π2 或2π3 时，点

P 的坐标分别是什么？

问题3 请问这三个角所对应的点的坐标是唯一确定的吗？

问题4 任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标也是唯一确

定的吗？

通过上述问题，学生可分析出：当角α 确定时，它的终边也就唯一确定，则终

边与单位圆的交点也就唯一确定，那么点的坐标也唯一确定.

问题5 任意给定一个角α 属于实数，那么对于点P 而言，既有唯一确定的横

坐标与之对应，也有唯一确定的纵坐标与之对应.这种对应关系符合我们前面所

学的什么定义？

结合引入部分的铺垫，学生是可以迅速得出符合“函数”定义的.

于是得出三角函数的概念：

设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P（x，y），

（1）把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作sinα，即y=sinα;

α∈R，

（2）把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作cosα，即x=cosα; α∈R

［1］.

设计意图 通过动点P 在单位圆周上的运动，由特殊到一般，借助信息技术观

察动点变化，在一般函数概念的指导下，探究确认点P 的横坐标x，纵坐标y

与角α 的对应关系就是函数，再抽象概括出三角函数的概念.（突破三角函数

的概念这节课的重难点）通过问题串逐渐引导学生思考所要学的知识是什么？

怎么来的？从而培养学生逻辑推理、数学抽象的核心素养.

问题6 请仔细阅读课本178 页回答下面问题？

为什么说yx 也可以看成关于角α 的函数？其中角α 也可以取任意实数吗？

由于α 确定了，点P 的坐标就唯一确定了，那么坐标的比值也就唯一确定了，

所以yx 也可以看成关于角α 的函数；

由于x≠0，α 的终边不能在y 轴上，所以α≠π2+kπ（k∈Z），

于是可以得到把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α 的正切，记作

tanα，即yx=tanα（x≠0）［1］

設计意图 通过阅读教材与回答问题，进一步进一步加深学生对三角函数定义

的理解，从而培养学生的自学归纳推理能力.在这个推导过程中有学生会问由于

α 确定了，点P 的坐标就唯一确定了，那么坐标的比值也就唯一确定了，那么

xy（y≠0）也可以看成角α 的函数，还有1x（x≠0）和1y（y≠0）.在这个过

程中教师要对学生的提问和给出的结论给予肯定和鼓励，并可以补充给出余

切、正割、余割函数的定义.作为教师就是要教会学生用已有的知识推导出新知

识的方法进而达到深度学习，从而培养适应未来社会需要的人才.

3 所学新知与原有知识有什么关系？（与何）——新旧辨析，加强理解

探讨 回忆初中学习的锐角三角函数的定义，并与高中所学任意角三角函数的

定义进行对比，你们发现有什么区别？

sinα=ABOAcosα=OBOAtanα=ABOB

sinα=ycosα=xtanα=yx

图3

由上述对比（图3）可以得出：初中所学锐角三角函数是以锐角为自变量，以

三角形边长的比为函数值的函数；而高中所学任意角三角函数是以任意角为自

变量，以单位圆上的点的坐标或者坐标的比为函数值的函数.（在这个过程中鼓

励学生作答比如从角的范围、表达形式的不同等角度作答，只有通过交流才可

能指导其更深层次地理解概念）.

追问 两种三角函数的定义方式显然是不同的，但是这两种不同定义方式的三

角函数有没有联系？如果我们取同一个锐角α，那么在这两种定义中的三角函

数值会一样吗？

问题7 设α∈0，π2，把按锐角三角函数定义求得的锐角α 的正弦记为z1，

并把按本节三角函数定义求得的α 的正弦记为y1，z1 与y1 相等吗？［2］

不妨将三角形OAB 的角α 平移与坐标单位圆O 中的角α 重合（图4），学生

通过小组合作或独立探究利用相似三角形是能證明z1 与y1 相等的.

追问 对于余弦与正切也有相同的结论吗？（鼓励学生作答巩固所学方法）

上述问题可得出：初中锐角三角函数的定义方式与高中三角函数的定义方式不

同，但角α∈0，π2 时，我们利用三角形相似推导出三角函数值是一样的，这

也说明任意角三角函数定义与原有知识并不矛盾，而是更好地刻画了周期变化

现象.

设计意图 对比分析锐角三角函数与任意角三角函数，明确两种定义的区别与

联系，体会所学新知的重要性与必要性，加强对三角函数概念的理解.在这个过

程中培养学生探究及深度思考问题的意识.

4 所学新知如何应用？（如何）——概念巩固、归纳总结

例1 求5π3 的正弦值、余弦值和正切值.

解 在直角坐标系中，作∠AOP=5π3，如图6 所示，易知∠AOP 的与单位 圆的

交点坐标为12，-32，

所以sin5π3=－32，cos5π3=12，tan5π3=－3.

图6

图7

问题8 请总结出求给定角三角函数值的方法？（让学生通过完成练习结合定义

总结方法）

设计意图 巩固概念，归纳总结出单位圆定义求一个角的三角函数值步骤：①

画出角α 的终边与单位圆;②求出角α 的终边与单位圆的交点坐标；③写出角

α 的三角函数值.在此不仅夯实所学新知，更能培养学生归纳总结的能力，明

确所学知识如何应用.

5 所学新知条件发生改变时，该怎么办？（变何）——探究变式，提升素养

例2 如图7，设α 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点0 重合）

的坐标为（x，y），点P 与原点的距离为r.

求证：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx.

问题9 通过例2 的解答，你能得到什么结论？

通过例2，学生可以掌握只要知道角α 终边上任意一点P 的坐标，就可以求得

角α 的各个三角函数值的方法.

设计意图 通过例2 进一步建立与锐角三角函数的联系，也进一步理解了任意

角三角函数的定义，将三角函数的“单位圆定义”与“终边上点的坐标比定

义”相结合推导出新的结论.从而启发学生思考当我们所学知识的条件发生改变

时，该怎么办？只要掌握了研究的方法，问题自然迎刃而解.我们数学教育的目

的不就是要教会学生用所学知识解决未知问题、探究新知识的能力吗？

6 你学到了什么？（有何）——归纳总结，回味无穷

通过这节课的学习掌握了哪些知识与方法？从而获得了哪些数学能力？

设计意图 通过上述简单问题不仅能让学生回顾总结所学知识，还能有效地培

养学生自我构建知识体系的能力.在逐渐培养学生自我总结和学习的过程中落实

数学核心素养，从而达到数学新课程标准的要求.

7 结语

本文研究以“六何”方式组织课堂教学，落实学生新知学习为问题切入点，以

学生没有行之有效的学习方法为研究假设，遵循数学学科知识及学生认知发展

规律，设计“六何”深度学习法的课堂教学方法.让学生对数学理解从“不

会”→“会”→“对”→“好”的创新思维能力和实践能力.“六何”深度学习

法能帮助教师和学生更好的理解教材，让教师落实大单元教学，让学生明白为

什么学数学，怎样学数学，如何用数学，从而在深度学习中落实数学核心素养.

【课题：《指向数学核心素养的“六何”深度学习法实践研究》省级编号：

2022B213 市级编号：GYYB22176】

Reference：

［1］章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第一册（2019）A 版［M］.北

京：人民教育出版社，2019：177-179.

［2］吴海凤.基于“六何认知链”的高中数学教材的比较研究［D］.南宁：广

西师范大学，2015.

-全文完-