五心定理的研究报告

定理证明

　　已知：ΔABC 中，AD、BE 是两条高，AD、BE 交于点O，连接CO

并延长交AB 于点F，求证：CF⊥AB

　　证明：

　　连接DE∵∠ADB=∠AEB=90 度∴A、B、D、E 四点共圆∴∠ADE=∠

ABE∵∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC

　　∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

　　又∵∠ABE+∠BAC=90 度∴∠ACF+∠BAC=90 度∴CF⊥AB

　　因此，垂心定理成立！

　　四、三角形内心定理

　　三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

　　内心的性质：

　　1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

　　2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的

差的二分之一。

　　3、P 为ΔABC 所在平面上任意一点，点I 是ΔABC 内心的充要条

件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).

　　4、O 为三角形的内心，A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长

AO 交BC 边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

　　五、三角形旁心定理

　　三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）

的圆心，叫做三角形的旁心。

　　旁心的性质：

　　1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，

该点即为三角形的旁心。

　　2、每个三角形都有三个旁心。

　　3、旁心到三边的距离相等。

　　如图，点M 就是△ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分

线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一

定在三角形外。

　　附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，

外心，垂心，四心合一。

　　有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）

　　三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握

莫记混．

　　重心

　　三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心

性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，

灵活运用掌握好．

　　外心

　　三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交

共一点．

　　此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接

是关键．