分解与组合应用举例
作者：韩林
来源：《新校园·理论（上旬刊）》2011年第09期
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，高中数学新课程改革十分强调数学思想方法的渗透和对数学本质的认识，特别是近几年的高考考试说明在关于空间想象能力的考查中明确指出，“要能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”。对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，以下举例说明分解与组合的数学思想在高考立体几何问题中的应用。
类型一：三视图问题
三视图是新课标高考试卷中的重要考点，是培养学生空间想象能力的重要知识。但是，许多教师只是利用自己的经验引导学生独立想象，绝大多数学生只会判断简单几何体的三视图，而对于复杂几何体的三视图或依据给出的三视图来还原几何体问题往往束手无策。通过分解即体中取体的思想解决此类问题可谓另辟蹊径，往往会有意想不到的收获。
因为三视图的本质就是几何体在直立投射面、侧立投射面和水平投射面这三个两两垂直的平面内的正投影，所以通常选取长方体来进行分解。
问题1：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断对角线AC1的三视图是什么？
问题2：将问题1中涉及的五个点C1、A、B、C、D连接得到四棱锥C1-ABCD，请画出此四棱锥的三视图。
问题3：将问题1中的长方体特殊化为正方体，判断问题2中的三视图会有哪些变化？
解析：只需将图2中的直角三角形与长方形改为等腰直角三角形和正方形即可（图略）.
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例题1（2010年高考辽宁卷） 如图3，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 。
解析：有了上述的铺垫，容易看出此多面体是图1中正方体ABCD-A1B1C1D1中四棱锥C1-ABCD的三视图，且正方体棱长为2，易得可得最长的一条棱的长为AC1=2■。
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