最长公共子序列 二分优化
最长公共子序列是一种常见的字符串匹配问题，求两个字符串中最长的公共子序列。在实际应用中，常常需要处理大量的字符串匹配问题，因此如何高效地求解最长公共子序列问题成为了一个关键的问题。本文介绍了一种基于二分优化的最长公共子序列算法，该算法能够在较短的时间内求解大规模的最长公共子序列问题。
首先介绍最长公共子序列问题的基本思路。给定两个字符串S1和S2，最长公共子序列是指在S1和S2中都出现的、长度最长的子序列。比如，对于字符串S1='ABCBDAB'和S2='BDCABA'，最长公共子序列为'BCBA'。
求解最长公共子序列问题的基本思路是使用动态规划算法。具体来说，设dp[i][j]表示S1的前i个字符和S2的前j个字符的最长公共子序列长度，则有如下状态转移方程：
dp[i][j] = 0 (i=0或j=0)
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 (S1[i]=S2[j])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (S1[i]!=S2[j])
最终的最长公共子序列长度即为dp[n][m]，其中n和m分别为两个字符串的长度。
然而，该算法的时间复杂度为O(nm)，对于较长的字符串来说，计算量非常大。因此，可以采用二分优化的方法来加速计算。
具体来说，对于每个长度len，我们可以使用哈希表（或者其他的数据结构）来记录S1中所有长度为len的子串的哈希值。然后，对于S2中长度为len的子串，我们可以通过哈希表快速查找是否在S1中也存在。如果存在，则len自增1；否则，将len减1。不断地二分len的值，直到找到最长的公共子序列。
该算法的时间复杂度为O((n+m)logn)，相比较动态规划算法有很大的优化。因此，在实际应用中，可以考虑采用该算法来求解最长公共子序列问题。
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