算法导论最长公共子序列
最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在两个序列中找到最长的公共子序列，即在两个序列中找到一个新的序列，该序列既是第一个序列的子序列，也是第二个序列的子序列，并且长度最长。
LCS问题是一个经典的动态规划问题。假设有两个序列X和Y，它们的长度分别为m和n。我们定义一个二维数组c[m+1][n+1]，其中c[i][j]表示序列X的前i个字符和序列Y的前j个字符的LCS长度。则LCS问题的递推公式为：
c[i][j] = 0, if i=0 or j=0
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1, if i>0 and j>0 and X[i]=Y[j]
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]), if i>0 and j>0 and X[i]!=Y[j]
其中，第一行和第一列的值都为0，因为一个空序列和任何序列的LCS长度都为0。当X[i]=Y[j]时，c[i][j]的值为c[i-1][j-1]+1，因为此时X[i]和Y[j]都在LCS中。当X[i]!=Y[j]时，c[i][j]的值为c[i-1][j]和c[i][j-1]中的较大值，因为此时X[i]和Y[j]至少有一个不在LCS中。
最终，c[m][n]即为X和Y的LCS长度。我们可以通过回溯c数组来找到LCS本身。具体来说，从c[m][n]开始，如果X[i]=Y[j]，则将X[i]加入LCS中，并向左上方移动一格；否则，如果c[i-1][j]>c[i][j-1]，则向上移动一格；否则，向左移动一格。重复以上步骤，直到回溯到c[0][0]为止。
LCS问题的时间复杂度为O(mn)，空间复杂度也为O(mn)。如果只需要求LCS的长度而不需要LCS本身，则可以将空间复杂度优化为O(min(m,n))，只需要用一个一维数组来存储上一行的值即可。
LCS问题在实际应用中有很多用途，例如字符串相似度比较、版本控制系统中的文件差异比较等。此外，LCS问题还可以推广到多个序列的情况，称为最长公共子序列集合（Longest Common Subsequence Set，LCSS）问题。LCSS问题的解法与LCS问题类似，只需要将二维数组扩展为三维数组即可。
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