微专题深度分析系列09 重庆一中•李红林 教师交流QQ 群：485619231 第 1 页 共 3 页

简单的线性递推数列与分式求和不等式放缩

--------微专题深度分析系列09

（北京市顺义区2016 届高三上学期期末改编）已知数列{满足，

}2a 32aa

na

1

1nn

*

()nN

（Ⅰ）求证：数列{是等比数列，并求数列{ }的通项公式

1}a 

n

nana ；

（Ⅱ）当，证明：.

*

nN

12n

111

1…+

aaa

简析：（Ⅰ）法一（迭代）：（将每个方程代入消元）

1123221nnnn

32;32;32;32aaaaaaaa

232123nnn

1231nnnn

3232 3232 32 3232 32 32 32aaaaa

123nnnn

23232323231

法二（叠加）：（将每个方程加减消元）

112233221nnnnnn

32;32;32;32;32aaaaaaaaaa

2232322211nnnnnn

112233221nnnnnn

32;332 3;332 3 ;332 3;332 3aaaaaaaaaa

1232nnnn

1na

32 32 32 32 3231a

点评：迭代法与叠加法实际上均是方程思想下的两种不同的消元技巧而已，此问题的本质是一个含有

1n 元的一次方程

组的求解，因消元的方式不同而产生了两种不同的处理方式，迭代法是代入消元，每代入一个方程就消去一个未知数，

总共代入个方程就消去个未知数，从而得解；叠加法则是加减消元，需要方程两边这个

2n 2n 2n 

122nn

,,,aaa

未知数的系数对应相等，才能产生消元的效果.

法三（构造差分数列）：，可得：，易得：

11nnnn21

3232aaaa3()aaaa60aa

11nnnn



1nn

1nn1nn

1nn

3aa

aa

aa

是公比为3，首项为6 的等比数列，由消去

1nn

1nn

6 32 3aa32aa

1na 可得：3

22 331aaa

nn

nnn

点评：构造差分数列是求数列通项公式的一种常见途径，出镜率很高，在猜测数列通项公式部分也有这种思路，若差分

数列恰好为等差或等比数列，则就将问题标准化了.此问题考查差分数列，通过消去递推关系中的常数，化为齐次化，从

而构造出相邻两项这种相同结构与.

1nn1nn

aaaa 

法四（化为叠加法）：，设，则，故

1nn

1nn

11nnn

2

32aa

333

aa2

33

n

n

n1n

aa

b ,bb

1n

1n1nn

33

1n

2

bb

11232211nnnnn

132nnn

222221

()()()()1bbbbbbbbbb

3

33333

，

1

131a

33

n

n

n

nn

a

点评：构造差分数列消去递推关系中的常数，从而达到了齐次化的目的，而化为叠加法则是处理相邻项的系数，使之达

成相同结构：

1n

1n与

3

a 

3

n

n

a ，这也是相邻两项的模型.

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法五（待定系数法）：，是公比为3 ，首项

11nnnn1n

3213(1)aaaa



1n

1a

1303+1aa

1a

n

为3的等比数列

1331aa

nn

nn

点评：与构造差分数列一样，这种处理方式也是对递推关系中的常数进行适当的变形，使之成为齐次式，考虑一般情况，

需要对递推公式中的常数进行适当的拆分，拆分常数适当的标准在哪里？在于拆分后能够形成相同结构的齐次式，即为

一下形式：，将与所给的递推关系完全相同，故

11nnnn

3()32axaxaax

1x ，这是待定系数的常见处

理技巧.

法六（数学归纳法）：略

法七（生成函数）：设数列生成的函数为，则数列生

nanb 

21n

123n

11

( ),()f xaa xa xa xx

33

2

成的函数为，（此处用到无穷递缩等比数列所有项和公式）

21n

211

( )2222,()g xxxxx

133x

23n

123n

3( )3333,( 11)x f xa xa xa xa xx

，由于，故有：

11nn

32,2aaa

2321nn

12323nn

3( )( )2(32)(32)(32)(32)2x f xg xaxaxaxaxa xa xa x 

1

23[(31)(33)]31xx

3( )( )2( )( )x f xg xf xaf x

(31)(1)(31)(33)131xxxxxx

2121nn

( )33 (3 )3 (3 )3 (3 )(1)f xxxxxxx

2321nnn

( )2(31)(31)(31)31f xxxxa

n

点评：这种生成函数来求数列通项公式的方法理论上适合所有线性递推关系所给的数列，其技巧与错位相减类似，这可

能也是高中教材给出错位相减法求和的一个原因之一吧，特别要注意这里用到无穷递缩等比数列所有项和公式及通过他

把分式函数展开为无穷级数.

（Ⅱ）法一（浓度不等式放缩）：1，当且仅当

12

313

nn

na 

…+

1n 时，取等号，则

12n

111

aaa

2nn

2221

11

3333

；（放缩为等比数列）

法二（放缩分母）：，当且仅当

111nnnnaaa

1111

31233123

na



1n 时，取等号，则

12n

111

…+

011nn

33

1111

(1)1

232323434

；（放缩为等比数列）

法三（放缩分母）：，当且仅当

12321nnnnn

1111

312(333331)23

na



1n 时，取等号，

则；（放缩为等比数列）

12n

111

aaa

…+

011nn

33

1111

(1)1

232323434

点评：分式求和型不等式放缩为等比数列求和是一种很常见的处理方式，一般放缩方式有三种：放缩分子，放缩分母及

同时放缩分子与分母，其中方法三可以更精确的放缩，只需要分母保持更多项即可，如：

12n

11111

16aaa

…+

（2014 全国卷新课标Ⅱ理17）已知数列满足

na1nn

1a =1，

31aa.，

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（Ⅰ）证明：是等比数列，并求的通项公式；

1

2

na 

na

（Ⅱ）证明：.

12n

3

111

2aaa

…+

（1）是等比数列

11nn

1,31aaa

1nnnn

1111

313()aaa数列

2222

a







(2)

133 -1 12

(1).aa由知，，

2223 -1a

nn

nn

n

n

11-1nnnn

1n

12-1nn

123n

123n

11221

1,1.n当时，

3 -123(31)3

1

1-

1111111313

3

11.（）

1

22aaaa

3333

1- 3

11113

*.nN所以，，（证毕）

2aaaa

n

aa