微专题深度分析系列04 重庆一中•李红林 教师交流QQ 群：485619231 第 1 页 共 3 页

微专题深度分析系列04

----2016 年重庆一中高2017 级高二下4 月月考21 题（文）

（2016 年重庆一中高2017 级高二下4 月月考（文）21 题）已知函数.

(1)a x

( ),f xlnxaR

1x

（Ⅰ）若，求证：

2a 

( )f x 在(0,

)上为增函数；

（Ⅱ）若不等式的解集为[1,

( )0f x )，求实数a 的取值范围.

简析：易知：

2

22

122(1)1axa x

( )fx

(1)(1)xx x

x

（Ⅰ），当且仅当

2a 

22

22

21(1)xxx

( )0fx

(1)(1)x xx x

1x 时，取等号,则

( )f x 在(0,

)上为增函数；

（Ⅱ）法一：，注意到

2

2

2(1)1xa x

( ),0fxx

(1)x x

(1)0f

（1）当，则

1a 时，则

2

2

2(1)1xa x

( )0fx

(1)x x

( )f x 在(0,

)上为增函数；显然适合题意题意；

（2）当1时，则，则，当且仅当时，取等号，则

2a

2

4(2 )0aa( )0fx

2

2

2(1)1xa x

(1)x x

2,1ax

( )f x 在(0,

)上为增函数；显然适合题意.

（3）当时，则，则有两个实根，

2a 

2

4(2 )0aa( )0fx

2

2

2(1)1xa x

(1)x x

22

12

12 ,12xaaa xaaa(0,],[,)xx 上为增函数，

，且，则

12

01,(11)xaxa

( )f x 在

12

在上是减函数；，显然不适合题意.综上：

12

(,)x x

12

1( ,),(1)0x xf

2a 

法二： 的解集为[1,在(1,在(01)

( )0f x )0lnx)上恒成立，且0lnx

(1)a x

1x

(1)a x

1x

，上恒成立

(1)xlnx

1x1x

a)，(01)

在(1,，

，上都恒成立，设

2

2

1x

2lnx

(1)lnxx

( )( )g xg x

1x（）

x

2

1x

( )2lnh xx

x

222

22

21(1)xxx1x

( )0h x( )2lnh xx

xx

x

在(0,，则

)上为增函数，且(1)

0h

(0,1)( )0( )0( )xh xg xg x(1,)( )0( )0( )xh xg xg x



在(0,1) 上为减函数；在

(1,)上为增函数；又

11xx1x

(1)ln1xxx

limlim(ln )2x

1xx1xx



，且，故适

1x

(1)ln1xxx

limlim(ln )2x



2a 

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合题意.

法三：，注意到，的解集为[1,在

2

2

2(1)1xa x

( ),0fxx

(1)x x

(1)0f( )0f x 

)( )0fx

1m，使得

[1,)m 上恒成立

(1)02fa

.

（1）当，则

1a 时，则

2

2

2(1)1xa x

( )0fx

(1)x x

( )f x 在(0,

)上为增函数；显然适合题意；

（2）当1时，则，则，当且仅当时，取等号，则

2a

2

4(2 )0aa( )0fx

2

2

2(1)1xa x

(1)x x

2,1ax

( )f x 在(0,

)上为增函数；显然适合题意.故

2a 

适合题意.

法四： 的解集为[1,的解集为[1,

( )0f x )(1)(1)0xlnxa x)，设( )(1)ln(1)g xxxa x

2

11xx

( )ln( )g xxagx

x

x



，则在(0,1) 上为减函数，

(0,1)( )0( )xgxg x

(1,)( )0( )xgxg x



在(1,有最小值，注意到(1)

)上为增函数，当( )g x(1)2ga0g

1x 时，

（1）当时，则（当且仅当时取等号）在(0,

(1)202gaa( )0g x



1,2xa

( )g x)上为增函数

故适合题意.

2a 

（2）当时，又因，则存在，使得，

(1)202gaa

1,()10eg ee1x (1,),( )0xxg x

aaa



0

0

0

(,),( )0( )xxg xg x

在上为减函数，在，故不适合题意.

00

(1,)x(,)x 为增函数，(1)

0g

2a 

综上，适合题意.

2a 

法五： 的解集为[1,的解集为[1,

( )0f x )(1)(1)0xlnxa x)，设( )(1)ln(1)g xxxa x

1x

( )lng xxa

x



，注意到(1)，(的解集为[1,

0g1)(1)0xlnxa x)(1)202gaa

2

1x

( )gx(0,1)( )0( )xg xg x(1,)( )0( )xgxg x)

x



，则在(0,1) 上为减函数，在(1,

上为增函数，当有最小值，则（当且仅当时取等号）在

1x 时，

( )g x( )0g x( )g x

(1)20ga1,2xa



(0,)上为增函数，故

2a 

适合题意.

法六：的解集为[1,的解集为[1,

( )0f x )lnx)，设

(1)a x

1x

(1)2a xa

( )ln , ( )g xx h xa

11xx

等价于当且仅当

[1,)x ，( )g x 的图像在( )g x ， ( )

h x 的图像上方，注意到( )h x 的

图像都过点(1,0)

（1）当时，则如图所示，显然适合当且仅当

0a 

[1,)x ，( )g x 的图像在( )

h x 的

图像上方，所以适合题意.

0a 

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（2）当时，则如图所示，当且仅当适合题意.

0a 0a 

[1,)x ，( )g x 的图像在( )

h x 的图像上方，所以

（3）当时，则如图所示，的解集为[1,

0a 

(1)a x

1x

lnx)，则需( )( )g xh x



在(0,在(0,在(0,

)恒成立)恒成立)

2

12a

(1)x

xx



1

22xa

恒成立，综上可得：

02a2a 

法七： 的解集为[1,的解集为[1,

( )0f x )(1)(1)xlnxa x)，设

( )(1)lng xxx

，则

2

11xx

( )ln( )g xxgx

x

x



(0,1)( )0( )xgxg x(1,)( )0( )xgxg x



在(0,1) 上为减函数，在

(1,)上为增函数，当g x(1)20( )gg x

1x 时，( )

有最小值在(0,

)上为增函数，

而经过点(1,0) ，由图可知，当直线与

(1)ya x(1)ya x

( )g x 相切时，恰好适合题意，且切线绕点(1,0) 顺时针旋转均适合

题意，设过点(1,0) 且与( )相切于点，则

(1)lng xxx

00

(,)xy

切线方程为，则有：

0

000

0

1x

(ln)()yyxxx

x

0

0000000

0

1x

(ln)(1),(1)lnyxxyxx

xx

，解之得：，

2

0

0

1x

2lnx

222

000

00000

22

000

00

1(1)1xxx

21

()2ln()10()2lnh xxh xh xx

xxx

xx

在(0,

)上为减函数，且

(1)0h(1)lng xxx2(1)yx

，方程有且仅有一个实根，过点(1,0) 且与( )相切的直线仅为，

2

0

00

0

1x

2lnx1x 

x

故适合题意.

2a 

点评：方法六、七因使用数形结合思想，利用图形得到参数范围，因为图形难以从微观说明细节，可能会被酌情扣分