2021年江苏省徐州市高考数学三调试卷
一、选择题（每小题5分）.
1．已知全集U，集合M，N是U的子集，且M⫋N，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．（∁UM）∪（∁UN）＝U B．M∩（∁UN）＝∅
C．M∪（∁UN）＝U D．（∁UM）∩N＝∅
2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（ ）
A．word/media/image1.jpeg B．word/media/image2.jpeg C．word/media/image3.jpeg D．word/media/image4.jpeg
3．已知z1，z2是复数，下列结论错误的是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，则word/media/image5.jpeg＝word/media/image6.jpeg
B．若 z1＝word/media/image6.jpeg，则word/media/image5.jpeg＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1•word/media/image5.jpeg＝z2word/media/image6.jpeg
D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
4．函数word/media/image7.jpeg（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的大致图象为（ ）
A．word/media/image8.jpeg B．word/media/image9.jpeg
C．word/media/image10.jpeg D．word/media/image11.jpeg
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（ ）
word/media/image12.jpeg
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
6．某圆锥母线长为2，底面半径为word/media/image13.jpeg，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B．word/media/image14.jpeg C．word/media/image15.jpeg D．1
7．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是其上一动点，点M（1，1），直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．|PM|+|PF|的最小值是2
B．动点P到点H （3，0）的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x+y﹣3＝0对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点（2，0），则点N在抛物线C的准线上
8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，满足f（x）＞0且f（x）+f′（x）＜0（f′（x）为函数的导函数），若0＜a＜1＜b且ab＝1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．f（a）＞（a+1）f（b） B．f（b）＞（1﹣a）f（a）
C．af（a）＞bf（b） D．af（b）＞bf（a）
二、选择题（共4小题）.
9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．log2a+log2b≥﹣2 B．ab+word/media/image16.jpeg
C．word/media/image17.jpeg D．2a﹣b＞word/media/image3.jpeg
10．已知（1﹣2x）2021＝ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为word/media/image18.jpeg
C．展开式中所有偶次项系数和为word/media/image18.jpeg
D．word/media/image19.jpeg
11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为word/media/image20.jpeg，则（ ）
word/media/image21.jpeg
A．BF⊥平面EAB
B．该二十四等边体的体积为word/media/image22.jpeg
C．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为word/media/image23.jpeg
12．已知函数f（x）＝esinx﹣ecosx，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A．f（x）在word/media/image24.jpeg是增函数
B．f（x+word/media/image25.jpeg）是奇函数
C．f（x）在（0，π）上有两个极值点
D．设word/media/image26.jpeg，则满足word/media/image27.jpeg的正整数n的最小值是2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则word/media/image28.jpeg的值为 ．
word/media/image29.jpeg
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）
15．已知双曲线word/media/image30.jpeg的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、NP，且AP的长为4，则a的值为 ．
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X～B（n，p），记pk＝Cword/media/image31.jpegpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…，n．在研究pk的最大值时，小组同学发现：若（n+1）p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应有必要的演算步骤、文字说明等。
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB＝1，bsinA＝2．
（Ⅰ）求sin（A+C）和边长a；
（Ⅱ）当b2+c2取最小值时，求△ABC的面积．
18．数列{an}中，a2＝7且2Sn＝nan+4n（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求{an}的通项公式an；
（Ⅱ）证明：word/media/image32.jpeg＜word/media/image2.jpeg﹣word/media/image33.jpeg（n∈N*）．
19．在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是word/media/image34.jpeg的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．
（1）求证：FO1∥平面ADE；
（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF﹣C的余弦值．
word/media/image35.jpeg
20．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当n＝2，p＝word/media/image3.jpeg时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
21．某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
（1）若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为word/media/image36.jpeg，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
word/media/image37.jpeg
22．已知函数f（x）＝xlnx﹣word/media/image3.jpegx2+（2a﹣1）x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）已知函数g（x）＝word/media/image38.jpeg﹣f′（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2.证明：x2﹣x1＜word/media/image39.jpeg．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知全集U，集合M，N是U的子集，且M⫋N，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．（∁UM）∪（∁UN）＝U B．M∩（∁UN）＝∅
C．M∪（∁UN）＝U D．（∁UM）∩N＝∅
解：对于A，（∁UM）∪（∁UN）＝∁UM≠U，所以A错误；
对于B，因为M⫋N，所以M∩（∁UN）＝∅，选项B正确；
对于C，因为M⫋N，且M∩（∁UN）＝∅所以M∩（∁UN）≠U，选选C错误；
对于D，因为M⫋N，所以（∁UM）∩N≠∅，选选D错误．
故选：B．
2．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（ ）
A．word/media/image1.jpeg B．word/media/image2.jpeg C．word/media/image3.jpeg D．word/media/image4.jpeg
解：清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，
经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，
采取抽签方式决定演讲顺序，二年级3人相邻，
基本事件总数n＝word/media/image40.jpeg
在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻包含的基本事件个数m＝word/media/image41.jpeg，
∴在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为：
P＝word/media/image42.jpeg＝word/media/image43.jpeg＝word/media/image4.jpeg．
故选：D．
3．已知z1，z2是复数，下列结论错误的是（ ）
A．若|z1﹣z2|＝0，则word/media/image5.jpeg＝word/media/image6.jpeg
B．若 z1＝word/media/image6.jpeg，则word/media/image5.jpeg＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1•word/media/image5.jpeg＝z2word/media/image6.jpeg
D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
解：A．∵|z1﹣z2|＝0，z1＝z2，∴则word/media/image5.jpeg＝word/media/image6.jpeg，正确；
B．z1＝word/media/image6.jpeg，则word/media/image5.jpeg＝z2，正确；
C．|z1|＝|z2|，又word/media/image44.jpeg，word/media/image45.jpeg＝word/media/image46.jpeg，则z1•word/media/image5.jpeg＝z2word/media/image6.jpeg，因此正确；
D．若|z1|＝|z2|，取z1＝1，z2＝i，则z12≠word/media/image47.jpeg．
故选：D．
4．函数word/media/image7.jpeg（x∈[﹣π，0）∪（0，π]）的大致图象为（ ）
A．word/media/image8.jpeg B．word/media/image9.jpeg
C．word/media/image10.jpeg D．word/media/image11.jpeg
解：f（﹣x）＝word/media/image48.jpeg＝word/media/image49.jpeg＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故排除BD，
∵f（π）＝word/media/image50.jpeg＞0，故排除C，
故选：A．
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（ ）
word/media/image12.jpeg
A．小寒比大寒的晷长长一尺
B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸
D．立春的晷长比立秋的晷长长
解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，则d＝10，
同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，其中b1＝135，b13＝15，则d'＝﹣10，
故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；
因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1+6d'＝135﹣60＝75，
因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1+6d＝15+60＝75，
故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；
因为小雪的晷长为a11，所以a11＝a1+10d＝15+100＝115，
又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；
因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，
所以a4＝a1+3d＝15+30＝45，b4＝b1+3d'＝135﹣30＝105，
所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．
故选：C．
6．某圆锥母线长为2，底面半径为word/media/image51.jpeg，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B．word/media/image51.jpeg C．word/media/image52.jpeg D．1
解：如图所示，截面为△SMN，P为MN的中点，设OP＝x（0＜x≤word/media/image51.jpeg），word/media/image53.jpeg，
所以SO＝1，word/media/image54.jpeg，
故word/media/image55.jpeg＝word/media/image56.jpeg，
所以当x＝1时，S△SMN＝2，此时的截面面积最大．
故选：A．
word/media/image57.jpeg
7．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P是其上一动点，点M（1，1），直线l与抛物线C相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．|PM|+|PF|的最小值是2
B．动点P到点H （3，0）的距离最小值为3
C．存在直线l，使得A，B两点关于直线x+y﹣3＝0对称
D．与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N，若直线AB过定点（2，0），则点N在抛物线C的准线上
解：A：当MP垂直于准线时，|PM|+|PF|的值最小，由抛物线的性质：到焦点的距离等于到准线的距离可得：|PM|+|PF|等于M到准线的距离为1﹣（﹣1）＝2，所以A正确；
B：设P（x，y）则y2＝4x，所以|PH|＝word/media/image58.jpeg＝word/media/image59.jpeg＝word/media/image60.jpeg＝word/media/image61.jpeg≥2word/media/image62.jpeg，当x＝1时，|PH|的最小值为2word/media/image62.jpeg，所以B不正确；
C：假设存在这样的直线l，由题意设直线l的方程为：x﹣y+m＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
word/media/image63.jpeg联立可得：y2﹣4y+4m＝0，
△＝16﹣16m＞0，所以m＜1，
所以y1+y2＝4，x1+x2＝y1+y2﹣2m＝4﹣2m，
所以A，B的中点P为（2﹣m，2），
由题意可得P在直线x+y﹣3＝0上，所以2﹣m+2﹣3＝0，解得m＝1，不满足m＜1，所以C不正确；
D：设 A（x1，y1），B（x2，y2），x＝word/media/image64.jpeg，x'＝word/media/image65.jpeg，
设直线AB的方程为：x＝my+2，
所以AN，BN切线方程分别为：x﹣x1＝word/media/image66.jpeg（y﹣y1），即x＝word/media/image3.jpegy1y﹣word/media/image67.jpegy12，
同理可得：x＝word/media/image3.jpegy2y﹣word/media/image67.jpegy22，
两式联立求出yN＝word/media/image68.jpeg，可得xN＝word/media/image67.jpegy1y2，
因为A，B在抛物线上y2＝4x，
word/media/image69.jpeg，整理可得：y2﹣4my﹣8＝0，
所以y1y2＝﹣8，
所以xN＝word/media/image67.jpeg•（﹣8）＝﹣2，不在准线x＝﹣1上，所以D不正确．
故选：A．
8．已知函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，满足f（x）＞0且f（x）+f′（x）＜0（f′（x）为函数的导函数），若0＜a＜1＜b且ab＝1，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．f（a）＞（a+1）f（b） B．f（b）＞（1﹣a）f（a）
C．af（a）＞bf（b） D．af（b）＞bf（a）
解：令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；
又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，
∴F（x）是（0，+∞）上的减函数；
令0＜x＜1，则x＜word/media/image70.jpeg，由已知F（x）＞F（word/media/image70.jpeg），
可得f（x）＞word/media/image71.jpegf（word/media/image70.jpeg），
下面证明：word/media/image71.jpeg＞word/media/image72.jpeg，即证明word/media/image70.jpeg﹣x+2lnx＞0，
令g（x）＝word/media/image70.jpeg﹣x+2lnx，则：
g′（x）＝﹣word/media/image73.jpeg＜0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），
即word/media/image71.jpeg＞word/media/image72.jpeg，
∴xf（x）＞word/media/image70.jpegf（word/media/image70.jpeg），
若0＜a＜1＜b且ab＝1，
则af（a）＞bf（b），
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。每题有多个选项符合题目要求。
9．设正实数a，b满足a+b＝1，则（ ）
A．log2a+log2b≥﹣2 B．ab+word/media/image16.jpeg
C．word/media/image17.jpeg D．2a﹣b＞word/media/image3.jpeg
解：因为正实数a，b满足a+b＝1，
所以abword/media/image74.jpeg＝word/media/image67.jpeg，当且仅当a＝b＝word/media/image3.jpeg时取等号，
log2a+log2b＝log2（ab）word/media/image75.jpeg＝﹣2，A错误；
令t＝abword/media/image76.jpeg，ab+word/media/image77.jpeg＝t+word/media/image78.jpeg在（0，word/media/image67.jpeg]上单调递减，
当t＝word/media/image67.jpeg时取得最小值word/media/image79.jpeg，B成立；
word/media/image80.jpeg＝word/media/image81.jpeg＝3+word/media/image82.jpegword/media/image83.jpeg，C不成立；
∵正实数a，b满足a+b＝1，
a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1＞﹣1，则2a﹣b＞2﹣1＝word/media/image3.jpeg，D成立．
故选：BD．
10．已知（1﹣2x）2021＝ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为22021
B．展开式中所有奇次项系数和为word/media/image18.jpeg
C．展开式中所有偶次项系数和为word/media/image18.jpeg
D．word/media/image19.jpeg
解：∵（1﹣2x）2021＝ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，
故所有项的二项式系数和为2n＝22021，故A正确；
令x＝﹣1，可得ao﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2021＝32021①，
令x＝1，可得ao+a1+a2+a3+…+a2021＝﹣1 ②，
①+②，并除以2，可得展开式中所有偶次项系数和为ao+a2+a4+a3+…+a2020＝word/media/image18.jpeg，
故C正确；
②﹣①，并除以2，可得奇次项的系数和为 a1+a3+a5+…+a2021＝word/media/image84.jpeg，故B错误；
令x＝word/media/image3.jpeg，可得a0+word/media/image85.jpeg+word/media/image86.jpeg+…+word/media/image87.jpeg＝0，而a0＝1，
∴word/media/image85.jpeg+word/media/image86.jpeg+…+word/media/image87.jpeg＝﹣1，故D正确，
故选：ACD．
11．半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为word/media/image88.jpeg，则（ ）
word/media/image21.jpeg
A．BF⊥平面EAB
B．该二十四等边体的体积为word/media/image22.jpeg
C．该二十四等边体外接球的表面积为8π
D．PN与平面EBFN所成角的正弦值为word/media/image23.jpeg
解：对于A，假设A对，即BF⊥平面EAB，于是BF⊥AB，
∠ABF＝90°，但六边形ABFPQH为正六边形，∠ABF＝120°，矛盾，
所以A错；
对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为word/media/image89.jpeg，
所以B对；
对于C，取正方形ACPM对角线交点O，
即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为R＝word/media/image90.jpeg，其表面积为4πR2＝8π，所以C对；
对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，
所以PN与平面EBFN所成角即为∠PNS，
其正弦值为word/media/image91.jpeg，所以D对．
故选：BCD．
word/media/image92.jpeg
12．已知函数f（x）＝esinx﹣ecosx，其中e是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ）
A．f（x）在word/media/image24.jpeg是增函数
B．f（x+word/media/image25.jpeg）是奇函数
C．f（x）在（0，π）上有两个极值点
D．设word/media/image26.jpeg，则满足word/media/image27.jpeg的正整数n的最小值是2
解：对于函数f（x）＝esinx﹣ecosx，其中e是自然对数的底数，
所以f′（x）＝cosxesinx+sinx•ecosx，
对于A：由于xword/media/image93.jpeg时，cosx＞0，sinx＞0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）为增函数，故A正确；
对于B：设h（x）＝f（x+word/media/image25.jpeg）＝word/media/image94.jpeg，
所以h（﹣x）＝word/media/image95.jpeg＝word/media/image96.jpeg＝word/media/image97.jpeg，故B正确；
对于C：由f′（x）＝cosxesinx+sinx•ecosx，
在xword/media/image93.jpeg时，cosx＞0，sinx＞0，
所以f′（x）＞0，
所以函数在此区间上无极值点，
由x＝word/media/image98.jpeg时，f′（x）＝1≠0，
下面考虑xword/media/image99.jpeg上
由f″（x）＝esinx（cos2x﹣sinx）+ecosx（cosx﹣sin2x），
当xword/media/image100.jpeg时，cos2x﹣sinx＜0，cosx﹣sin2x＜0，
所以f″（x）＜0，函数f′（x）为单调递减函数，由f′word/media/image101.jpeg，word/media/image102.jpeg＝word/media/image103.jpeg，
所以word/media/image104.jpeg，
故明显存在f′（x）＝0；
在word/media/image105.jpeg上，f′（x）＝cosxesinx+sinx•ecosx，
由|sinx|＜|cosx|，而cosx＜0，sinx＞0，
所以sinx＜﹣cosx，
所以sinx+cosx＜0，
而由esinx＞ecosx，明显成立，
即|cosx|•esinx＞|sinx|•ecosx，
即cosxesinx+sinx•ecosx＜0，
所以不存在零点，
故f′（x）在（0，π）只有一个零点，即函数f（x）只有一个极值点．故C错误；
对于D：由n＝1时，g（word/media/image25.jpeg）＝word/media/image106.jpeg，
所以word/media/image107.jpeg＝word/media/image108.jpeg，明显word/media/image109.jpeg不成立，
由n＝2时，word/media/image110.jpeg，
同理word/media/image111.jpeg，
由g（word/media/image98.jpeg）≈1.0939，g（word/media/image112.jpeg）≈0.6515，
所以word/media/image113.jpeg，
所以n的最小值为2，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则word/media/image28.jpeg的值为 word/media/image114.jpeg ．
word/media/image29.jpeg
解：如图，连接FP，FQ，EP，EQ，
∵E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，
∴四边形EPFQ为平行四边形，
∴word/media/image115.jpeg＝word/media/image116.jpeg，word/media/image117.jpeg，且AD＝3，BC＝4，
∴word/media/image118.jpeg．
故答案为：word/media/image114.jpeg．
word/media/image119.jpeg
14．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 1.26 倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）
解：由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），
令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，
则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，
所以lgE1﹣lgE2＝word/media/image120.jpeg＝0.1，
则lgE1＝lgE2+0.1＝lg100.1E2，所以E1＝100.1E2，
即word/media/image121.jpeg＝1+2.3×0.1+2.7×0.1×0.1＝1.257，
则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，
故答案为：1.26．
15．已知双曲线word/media/image30.jpeg的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2的内切圆与边AB、BF2、AF2分别相切于点M、NP，且AP的长为4，则a的值为 2 ．
解：由题意可知：|BM|＝|BN|，|F2P|＝|F2N|，|AM|＝|AP|，根据双曲线的定义，可知|BF1|﹣|BF2|＝|MF1|﹣|NF2|，|AF2|﹣|AF1|＝2a，则|AF1|＝|AF2|﹣2a，所以|BF1|﹣|BF2|＝|MA|+|AF1|﹣|NF2|＝|MA|+|AP|+|PF2|﹣2a﹣|NF2|＝8﹣2a＝2a，所以a＝2．
故答案为：2．
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评．设随机变量X～B（n，p），记pk＝Cword/media/image31.jpegpk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…，n．在研究pk的最大值时，小组同学发现：若（n+1）p为正整数，则k＝（n+1）p时，pk＝pk﹣1，此时这两项概率均为最大值；若（n+1）p为非整数，当k取（n+1）p的整数部分，则pk是唯一的最大值．以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为 18 的概率最大．
解：继续再进行80次投掷实验，出现点数为1次数X服从二项分布X～B（80，word/media/image122.jpeg），
由k＝（n+1）p＝81×word/media/image123.jpeg，
结合题中的结论可知，当k＝13时概率最大，
即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，
所以出现18次的概率最大，
故答案为：18．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应有必要的演算步骤、文字说明等。
17．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB＝1，bsinA＝2．
（Ⅰ）求sin（A+C）和边长a；
（Ⅱ）当b2+c2取最小值时，求△ABC的面积．
解：（Ⅰ）由正弦定理及acosB＝1与bsinA＝2得：2RsinAcosB＝1，2RsinBsinA＝2（R是△ABC的外接圆半径），
两式相除，得word/media/image124.jpeg，
设cosB＝k，sinB＝2k，
∵B是△ABC的内角，∴sinB＞0，∴k＞0，
∵sin2B+cos2B＝1，∴word/media/image125.jpeg，
∴word/media/image126.jpeg，word/media/image127.jpeg，
将word/media/image126.jpeg代入acosB＝1，得word/media/image128.jpeg，
∴word/media/image129.jpeg；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB＝5+c2﹣2c，
∴word/media/image130.jpeg，
当且仅当word/media/image131.jpeg时，b2+c2取得最小值word/media/image132.jpeg，
∴word/media/image133.jpeg，
∴b2+c2最小时△ABC的面积为word/media/image3.jpeg．
18．数列{an}中，a2＝7且2Sn＝nan+4n（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求{an}的通项公式an；
（Ⅱ）证明：word/media/image32.jpeg＜word/media/image2.jpeg﹣word/media/image33.jpeg（n∈N*）．
解：（Ⅰ）由2Sn＝nan+4n，取n＝1，有2a1＝a1+4，得a1＝4，
当n≥2时，2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1+4（n﹣1），
两式相减得2an＝nan﹣(n﹣1)an﹣1+4，
即(n﹣2)an﹣(n﹣1)an﹣1+4＝0（n≥2），
∴(n﹣3)an﹣1﹣(n﹣2)an﹣2+4＝0（n≥3），
两式再相减得（n﹣2）an﹣（2n﹣4）an﹣1+（n﹣2）an﹣2＝0，
即an+an﹣2＝2an﹣1（n≥3），
∴{an}为等差数列，又d＝a2﹣a1＝7﹣4＝3，
则an＝4+3(n﹣1)＝3n+1；
证明：（Ⅱ）要证word/media/image32.jpeg＜word/media/image2.jpeg﹣word/media/image33.jpeg，
即证word/media/image134.jpeg＜word/media/image2.jpeg﹣word/media/image33.jpeg，
∵word/media/image135.jpeg＜word/media/image136.jpeg，
∴word/media/image134.jpeg＜word/media/image137.jpeg
＝word/media/image138.jpeg．
故word/media/image32.jpeg＜word/media/image2.jpeg﹣word/media/image33.jpeg（n∈N*）．
19．在如图所示的圆柱O1O2中，AB为圆O1的直径，C，D是word/media/image34.jpeg的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱O1O2的母线．
（1）求证：FO1∥平面ADE；
（2）若BC＝FC＝2，求二面角B﹣AF﹣C的余弦值．
word/media/image35.jpeg
【解答】（1）证明：连接O1C，因为EA，FC，都是圆柱O1O2的母线，所以AE∥CF，
因为C，D是word/media/image34.jpeg的两个三等分点，AB为圆O1的直径，所以AD∥O1C，
又因为AD∩AE＝A，CF∩O1F＝F，所以平面AED∥平面O1CF，
又因为O1F⊂平面O1CF，所以FO1∥平面ADE．
（2）解：连接AC，因为AB为圆O1的直径，所以AC⊥BC，
又因为CF⊥平面ABC，所以CF⊥CB，CF⊥AC，
所以CA、CB、CF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
C（0，0，0），B（0，2，0），F（0，0，2），A（2word/media/image139.jpeg，0，0），
word/media/image140.jpeg＝（﹣2word/media/image139.jpeg，2，0），word/media/image141.jpeg（﹣2word/media/image139.jpeg，0，2），
设平面ABF的法向量为word/media/image142.jpeg＝（x，y，z），
word/media/image143.jpeg，令x＝1，则word/media/image142.jpeg＝（1，word/media/image139.jpeg，word/media/image139.jpeg），
平面ACF的法向量为word/media/image144.jpeg＝（0，1，0），
所以二面角B﹣AF﹣C的余弦值为word/media/image145.jpeg＝word/media/image146.jpeg＝word/media/image147.jpeg．
word/media/image148.jpeg
20．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当n＝2，p＝word/media/image3.jpeg时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
解：（1）当n＝2时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为word/media/image149.jpeg，（1分）
设X为该电子产品需要维修的系统个数，则word/media/image150.jpeg，ξ＝500X，
∴word/media/image151.jpeg，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
500
1000
1500
P
word/media/image152.jpeg
word/media/image153.jpeg
word/media/image153.jpeg
word/media/image152.jpeg
∴word/media/image154.jpeg．
（2）记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为pk.2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率
为word/media/image155.jpeg，
因此系统工常工作的概率word/media/image156.jpeg．
在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k+1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少有k+1个元件正常工作，概率为word/media/image157.jpeg；
（b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为word/media/image158.jpeg；
（c）原系统中恰有k﹣1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为word/media/image159.jpeg．
因此，word/media/image160.jpeg
＝word/media/image161.jpeg，
故当word/media/image162.jpeg时，pk单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
21．某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．
（1）若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为word/media/image36.jpeg，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？
word/media/image37.jpeg
解：（1）以O为坐标原点，以OD所在的坐标为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意A（0，1），E（3，0），由∠OEF＝30°，所以|OF|＝|OE|•tan30°＝word/media/image163.jpeg，
所以F（word/media/image163.jpeg，0），kEF＝﹣word/media/image163.jpeg，
所以直线EF的方程为：y＝﹣word/media/image163.jpegx+word/media/image163.jpeg，
设OD＝a，则D（a，0），
所以椭圆word/media/image164.jpeg+y2＝1，当a最大时直线EF与椭圆相切，
word/media/image165.jpeg整理可得：（1+3a2）x2﹣6word/media/image166.jpeg2x+8a2＝0，
△＝（6word/media/image167.jpega）2﹣4（1+3a2）•8a2＝0，解得a＝word/media/image168.jpeg（﹣word/media/image168.jpeg舍）
所以椭圆的长半轴长为word/media/image168.jpeg；
（2）因为e＝word/media/image169.jpeg＝word/media/image36.jpeg，b＝1，a2＝b2+c2，
所以a2＝4，
所以椭圆的方程为：word/media/image170.jpeg+y2＝1；
设OG＝t＞0，则G（t，0），直线MN的方程为：y＝x﹣t，
联立word/media/image171.jpeg，整理可得：5x2﹣8tx+4t2﹣4＝0，
设M（x1，y2），N（x2，y2）则x1+x2＝word/media/image172.jpeg，x1x2＝word/media/image173.jpeg，
|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝word/media/image174.jpeg＝word/media/image175.jpeg＝word/media/image176.jpeg•word/media/image177.jpeg，
S△OMN＝word/media/image3.jpeg|OG|•|y1﹣y2|＝word/media/image3.jpeg•t•word/media/image176.jpeg•word/media/image177.jpeg＝word/media/image178.jpegword/media/image179.jpeg，
要保证MN与半椭圆有交点，当N位于B时t＝1，
所以1＜t＜2，当t2＝﹣word/media/image180.jpeg＝word/media/image181.jpeg，即t＝word/media/image182.jpeg，
S△OMN有最大值为1，
综上所述，当OG＝word/media/image182.jpeg时，三角形OMN的面积最大．
22．已知函数f（x）＝xlnx﹣word/media/image3.jpegx2+（2a﹣1）x（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）已知函数g（x）＝word/media/image38.jpeg﹣f′（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2.证明：x2﹣x1＜word/media/image39.jpeg．
【解答】（1）解：函数f（x）＝xlnx﹣word/media/image3.jpegx2+（2a﹣1）x，故f（x）的定义域为（0，+∞），则f'（x）＝lnx﹣x+2a，
令h（x）＝lnx﹣x+2a，则word/media/image183.jpeg，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，
当x＞1时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，
所以当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝2a﹣1，
当a≤word/media/image3.jpeg时，h（1）＝2a﹣1≤0，则f'（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，此时f（x）无极值点；
当a＞word/media/image3.jpeg时，h（1）＝2a﹣1＞0，因为0＜e﹣2a＜1，h（e﹣2a）＝﹣2a﹣e﹣2a+2a＝﹣e﹣2a＜0，
所以h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，
所以f（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，
又e5a＞e2＞1，h（e5a）＝5a﹣e5a+2a＜7a﹣e4aa＝a（7﹣e4a）＜a（7﹣e2）＜0，
所以h（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点，
所以f（x）在（1，+∞）上有且只有一个极值点．
综上所述，当a≤word/media/image3.jpeg时，f（x）无极值点；当a＞word/media/image3.jpeg时，f（x）有2个极值点．
（2）证明：函数g（x）＝word/media/image38.jpeg﹣f′（x）＝word/media/image184.jpeg，
则word/media/image185.jpeg，
当0＜x＜1时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
当x＞时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝e+1﹣2a，
因为函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，
所以g（1）＜0，即e+1﹣2a＜0，所以2a＞e+1，
又g（2a）＝word/media/image186.jpeg，
令φ（x）＝word/media/image187.jpeg，则φ'（x）＝word/media/image188.jpeg，
令m（x）＝ex（x﹣1）﹣x（x≥e），则m'（x）＝xex﹣1≥ee+1﹣1＞0，
所以m（x）单调递增，所以m（x）≥m（e）＝ee（e﹣1）﹣e＞0，
所以φ'（x）＞0，所以φ（x）单调递增，
所以φ（2a）＞φ（e+1）＞φ（e）＝ee﹣1﹣1＞0，
所以g（2a）＞0，所以x2＜2a，
令n（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则n'（x）＝word/media/image189.jpeg，
当0＜x＜1时，n'（x）＞0，则n（x）单调递增，
当x＞1时，n'（x）＜0，则n（x）单调递减，
所以当x＝1时，n（x）取到最大值为n（1）＝0，
所以n（x）≤0，即lnx≤x﹣1，
所以word/media/image190.jpeg≥word/media/image191.jpeg，
令word/media/image192.jpeg，则g（p）＞word/media/image193.jpeg，所以word/media/image194.jpeg，
所以word/media/image195.jpeg．
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