微专题深度分析系列03 重庆一中•李红林 教师交流QQ 群：485619231 第 1 页 共 3 页

微专题深度分析系列03

——北京市朝阳区2015 年高三第一次综合练习文20

（北京市朝阳区2015 年高三第一次综合练习文20）已知函数，aR ．

( )()f xxe

x

a

x

（1）当时，求曲线在点(1,处的切线方程；

0a 

( )yf x(1))f

（2）当

1a 时，求证：

( )f x 在(0,)上为增函数；

（3）若

( )f x 在区间(0,1) 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．

（按照高考考试说明可以看出，运算求解能力包括三方面的要求：①据算理（法则与公式）变形与运算(正确)；②

据条件构建运算程序(合理简洁)；③据要求估计及近似计算。实际上考查更频繁的还是第一二两点，尤其是第二点为甚。

其中第二点具体包括：①分析运算条件；②探究运算方向；③选择运算公式；④确定运算程序；⑤遇障碍而调整等五个

维度.实际上更属于思维能力的层次）

32

2

( )()()()fxxexee( )g xxxaxa

xxx

aaxxaxa

xx

x



，则在区间(0,1) 上有且只有一个异号

32

零点（函数零点：①二分法+单调性：分类讨论；②曲线交点：分离函数与分离参数；③实根分布：二次方程）

法一（二分法+单调性：注意端点值异号+函数单调）：(Ⅰ)考虑运算程序：函数单调性端点值异号

2

( )32,(0,1)g xxxa x

,下面判断导函数的符号

方案一：则由单调性考察二次函数符号，对称轴为，开口向上，则在(0,1) 上为增函数，

1

3

x 

2

( )32g xxxa

故，则有：

2

( )32( ,5)g xxxaa a

（1）当时，则在(0,1) 上为增函数，故需

0a 

232

( )320g xxxa( )g xxxaxa

(0)(1)00gga

，所以适合题意.

0a 

（2）当在(0,1) 上为减函数，故需

5a 时，则

232

( )320g xxxa( )g xxxaxa

(0)(1)00gga

，所以

5a 不适合题意.

（3）当5时，则存在唯一的，使在上为减函数，

0a

000

(0,1)x ()0g x( )g xxxaxa(0,]x

32

32

( )g xxxaxaxx

在上为增函数，则当时，函数( )，考察端点值

00

[,1)x()g x

g x 有最小值

0

(0)0, (1)2gag

，①若最小值在(0,1) 上没有零点；②若最小值在(0,1)

00

()0g x()0g x

( )g x( )g x

上有且仅有一个同号零点；③若最小值在(0,1) 上有两个零点；所以5不适合题意.综上，

0

()0g x

( )g x

0a

0a 

适合题意.

方案二：则由判别式考察二次函数符号，开口向上，，

4(1 3 )a

（1）当时，则在(0,1) 上为增函数，

1

4(13 )0aa

3

232

( )320g xxxa( )g xxxaxa

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故需(0)，所以适合题意.

(1)00gga

1

3

a 

（2）当时，则

1113113aa

4(13 )0aa0,xx

333

2

( )320g xxxa

12

①若时，则在(0,1) 上为增函

2

1131a

00xa

33

232

( )320g xxxa

( )g xxxaxa

数，故需(0)，所以适合题意.

(1)00gga

1

0a

3

②若时，则在上为减函数，在上为增函

2

113a

(0,1)50xa

3

32

( )g xxxaxa(0,]x[,1)x

22

数，，则当时，函数( )，考察端点值(0)，若最小值在

222

xx()g x()0g x

g x 有最小值( )g x

0, (1)2gag

(0,1) 上没有零点；若最小值( )g x( )g x

22

()0g x()0g x

在(0,1) 上有且仅有一个同号零点；若最小值在(0,1)

上有两个零点；所以5不适合题意

0a

③若在(0,1) 上为减函数，

2

13a

15xa时，则

3

232

( )320g xxxa( )g xxxaxa

故需(0)，所以

(1)00gga

5a 不适合题意.

综上，适合题意.

0a 

方案三：则逐项考察二次函数符号，注意到，则，则有：

(0,1)x

2

30,20xx

（1）当时，则在(0,1) 上为增函数，故需

0a 

232

( )320g xxxa( )g xxxaxa

(0)(1)00gga

，所以适合题意.

0a 

（2）当时，则(0)，所以不适合题意.

0a 0a 

0, (1)20gag

点评：虽然都是先判断单调性，再判断端点值符号，但是判断导函数符号的出发点不同难易程度差异很大，请仔细体会

运算条件分析及运算方向选择对解题的作用。

法二（Ⅱ）考虑运算程序：端点值异号函数单调性：

由端点值异号可得：(0)，则，显然适合题意.

, (1)20ga ga

2

( )320g xxxa

点评：调整运算程序：先判断端点值符号，再判断单调性，难度陡然下降。请仔细体会运算程序的不同对解题的作用。

法三（曲线交点）：（Ⅰ）分离参数，，看成曲线的交

3232

32

0,(0,1)xxaxaax

1x

xxxx

,yya

1x

点，则利用导数研究函数的图像，

32

1x(1)(1)xx

xx

y

2322

22

(32 )(1)()( 1)2 (1)xxxxxx xx

y



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故上为减函数，在1上为增函数，则函数

22

1yxx在10yxx0y

1

(0, ]

2

[ ,1)

2(1)x

2

2

2 (1)x xx

则函数在(0,1) 上为增函数，故，所以

3232

1x1x

xxxx

y(0,)y

0a 

法四（曲线交点）：（Ⅱ）分离函数数，，看成曲线

3232

0(1),(0,1)xxaxaxxax x

32,32232

(1)yxxyaxyxx320yxxyxx

的交点，则利用导数研究的图像，，故在(0,1) 上



为增函数，恒过点(1,0) ，曲线有

(1)yax

32,

(0,1),(1)yxxxyax

且仅有一个交点，故

0a 

法五（曲线过定点）：

3232

( )(1),(0,1)g xxxaxaxxa xx

则，

32

0,0,10xxx

（1）若，则，故不适合题意.

0a 0a 

32

( )(1)0g xxxa x

（2）若，则，故适合题意.

0a 0a 

2

( )320, (0)(1)0g xxxagg

点评：导数问题特别要注意特殊函数值的分析与处理对解题的影响