浅谈美育教育对学生数学学习心理的积

极作用

【摘 要】 《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》中明确提出

通过数学学习，认识数学的审美价值.教师在数学教学中应當关注学生的学习心

理，利用数学之美积极调动学生学习的积极性.数学中有很多内容具有美学价

值，如图形美、结构美、思维美、变换美，教师充分利用这些美学资源可以大

大提高教学效果.

【Key】 美育教育；图形美；结构美；思维美；变换美

进入高中阶段，学生往往会感觉到数学学习很吃力，抽象知识多、运算量大、

思维要求高、题目千变万化.特别是高中起始阶段，这种感觉尤其明显，本来这

些学生经历中考选拔后认为自己还是相当优秀的学生，满怀希望想把高中数学

学好，可是经历了集合与常用逻辑用语的学习后，意识到高中数学不容易学

好，甚至有学生发出感叹：数学，想说爱你却并不是一件容易的事.学生数学学

习心理受到伤害，兴趣随之衰减.这时有经验的教师常常会利用好的教学时机，

培育学生的积极学习心理，调动学生学习数学的兴趣，让他们爱上数学，享受

数学.

怎么去培育学生的积极学习心理呢？方法有很多，每位教师的认识也可能千差

万别.笔者根据多年的教学经验，觉得数学教学中恰当结合美育教育能让学生发

现数学之美，感知数学之美，享受数学之美，能给学生带来震撼之感，学习兴

趣会油然而生.下面以人教版普通高中教材《数学》（2019）必修一“基本不等

式”为例，在教学活动中开展美育教育，让学生爱上数学.

1 数学美育教育之图形美

在课堂的学习活动中，学生主要通过“看、听、做”来学习数学，“看”是很

重要的环节，图形的呈现能形成视觉冲击感，形成好印象.在这一节内容中可以

先推证：a2+b2≥2ab 当且仅当a=b 时等号成立.这里选用教材前一节内容中的

图形来证明.

如图1，c=a2+b2，所以大正方形的边长为a2+b2，

S 大正方形=a2+b22=a2+b2，S 阴影=4S 直角三角形=4×12ab=2ab

因为S 大正方形≥S 阴影当且仅当a=b 时等号成立，从而a2+b2≥2ab 当且仅当

a=b 时等号成立.

由a2+b2≥2ab 当且仅当a=b 时等号成立得a2+b2≥2a·ba＞0，b＞0 即得基本

不等式：

ab≤a+b2（a＞0，b＞0）当且仅当a=b 时等号成立.

这个图形有三角形“相等”美，三角形和正方形还有“拼接”美，浑然一体，

学生很容易被“吸睛”，唤起学生学习兴趣.这种利用图形关系来证明代数关

系，有“直观”美，还体现了学科核心素养之直观想象（图形）、数学抽象

（基本不等式）的数学素养.

基本不等式ab≤a+b2（a＞0，b＞0）当且仅当a=b 时等号成立，还可以有如下

的几何解释，同样体现了图形美的价值，很简捷、形象，也体现了数形结合的

思想.

图2 如图2，AB 是圆的直径，点C 是线段AB 上异于点A，B 的一点，AC=a，

BC=b，过点C 作垂直于AB 的垂线交弧AB 于D，连接AD，OD，BD.OD=OA=a+b2，

利用三角形相似，可得△ACD∽△BCD，于是ACCD=CDBC 即CD=ab. 当且仅当点

C 与圆心重合即a=b 时等号成立，形象的解释就是：半弦不长于半径.

2 数学美育教育之结构对称美

与基本不等式有关的很多题中条件和探究目标都是“对称”的，基本不等式

ab≤a+b2（a＞0，b＞0）本身的结构就是“对称”的（将a 与b 互换位置，式

子没变）.

利用这种结构对称，我们可以突破基本不等式求最值的难点，那就是在放缩的

过程中保证“对称”的相关量能相等.如下面的两个题：

题1 已知x＞0，y＞0，x+y+xy=3，求x+y 的最小值及xy 的最大值.

题2 已知x＞0，y＞0，则x+12y2+y+12x2 的最小值为 .（提示：所求式子显

然没有最大值，所以做填空题求最小值时一定有x=y，代入后就转化为求

2x+12x2（x＞0）的最小值，没难度了，答案为4.这就是数学“对称”美的力

量）

3 数学美育教育之霸气美

基本不等式中有一个词组是“当且仅当”，体现出一种无与伦比的霸气，意思

是你不能离开我，离开我就可能犯错.这就告诫我们利用基本不等式求最大值或

最小值时，务必考虑取等号的条件，只有取等号的条件满足，才能肯定所求式

子有最大值或最小值.

题3 已知x∈R，求函数y=x2+4+1x2+4 的最小值.

分析 有些学生会这样思考：因为x2+4＞0 且x2+4·1x2+4=1，所以由基本不等

式得x2+4+1x2+4≥2x2+4·1x2+4=2，因此函数y=x2+4+1x2+4 的最小值为2，这

就错了，因为取等号时x2+4=1x2+4 即x2+4=1，但x∈R，x2+4=1 不能成立.

正解 因为x2+4+1x2+42=x2+4-1x2+42+4，而x2+4≥2，-1x2+4≥-12，所以

x2+4-1x2+4≥2-12=32.

于是x2+4+1x2+42=x2+4

-1x2+42+4≥322+4=254，当且仅当x=0 时取等号，因此函数y=x2+4+1x2+4 的最

小值为52.

注 此题还可以用对勾函数的知识来求解.

4 数学美育教育之思维美

数学是思维的体操，所以数学美有艺术之美.基本不等式中的一题多解方法，思

维切入不同，效果差异大，平时多训练，学生像欣赏艺术体操运动员优美的舞

姿一样乐在其中，又恰如有艺术灵感来临，跃跃欲试，参与进来，步入“沉浸

式”学习状态，自然对数学就爱得更深了.

题4 已知正实数a，b 满足ab+a+b=3，则a+2b 的最小值为（ ）.

A.26-3 B.22 C.42-3 D.26

解法1 （消元法）由ab+a+b=3 得a=3-bb+1，因为a＞0，所以3-bb+1＞0，得

0＜b＜3.

a+2b=3-bb+1+2b=4-（b+1）b+1+2（b+1）-2=2（b+1）+4b+1-3≥22

（b+1）·4b+1-3=42-3，当2（b+1）=4b+1 即b=2-1 时取等号，选C.

这是最本真的解法，虽然看起来没什么技巧，但能够解决问题，也是有用的办

法.

解法2 （万能“k”法）设a+2b=k，则a=k-2b（k＞0），由ab+a+b=3 得，

（k-2b）b+k-2b+b-3=0，即-2b2+（k-1）b+k-3=0，由Δ≥0 解得k≥42-3，当

b=2-1 时取等号，选C.

这也是一种朴实的解法，同时也是一种通法.

解法3 （换元法）由ab+a+b=3 得（a+1）（b+1）=4（a＞0，b＞0），设

m=a+1，n=b+1，则a=m-1，b=n-1，mn=4（m＞1，n＞1），所以a+2b=（m-1）+2

（n-1）=m+2n-3≥2m·2n-3=42-3，

当m=22，n=2 时取等号，选C.

这种方法是根据所求式子特征去变换已知等式，过程简捷，思维要求高但难度

不大，对培养学生的数学思维能力正合适.

上述三种方法都是基本不等式中的常用方法，这些思维能力是学生可以达到且

必须达到的.教师培养学生的思维能力时，选题要具有针对性，题选得好，能让

他们节节上升，这样学生既有成就感，又觉得意犹未尽，从而激发他们积极的

学习心理.

5 数学美育教育之“放缩”美

放缩法是利用不等式求最大值和最小值以及证明不等式的“最高”技巧，它的

美在于一切都刚刚好，放大一点不行，缩小一点也不行，就象“黄金分割”，

恰到好处，尽善尽美.

题5 已知实数x，y 满足2x2+4xy+5y2=1，求x2+y2 的最大值和最小值.

解 因为1=2x2+4xy+5y2=2x2+2（2x）·y+5y2≤2x2+4x2+y2+5y2=6x2+y2，即

x2+y2≥16 当且仅当2x=y 时取等号，代入原条件等式得x2=130，y2=215 时

x2+y2 取得最小值为16.

另一方面，1=2x2+4xy+5y2=x2+y2+x2+x·（4y）+4y2=x2+y2+（x+2y）

2≥x2+y2，即x2+y2≤1 当且仅当x=-2y 时取等号，代入原条件等式得x2=45，

y2=15 时x2+y2 取得最大值为1.

此题本身是一个难题，也可以用万能“k”法求解，思维难度高，过程比较麻

烦.但我们看到用放缩法求解显示了无比的优越性，可见放缩之美，美到极致.

6 数学美育教育之变换美

基本不等式运算中经常出现换元、拼凑、代换等基本方法，但在具体的题目

中，因为条件和求解目标的变化，所选用的方法也就各不相同，这就为培养学

生的多角度思维、多层次思维提供了良好机会，学生常常会乐在其中，总觉得

很多地方都还有思维进阶的可能，教师就要放手让他们去思考、去探究，不轻

易去点拨，不要让学生失去培养自己思维能力的机会，尽情地让他们去体会思

考的乐趣，体会攻坚破难的勇气和智慧，这对他们终生有益.

题6 若正数a，b 满足1a+1b=1，则aa-1+4bb-1 的最小值为 .

解法1 由1a+1b=1 得ab=a+b，即（a-1）（b-1）=1，所以aa-1+4bb-1=（a-

1）+1a-1+4（b-1）+4b-1=1a-1+4b-1+5≥21a-1·4b-1+5=9，当且仅当a=32，

b=3 时取等号，因此aa-1+4bb-1 的最小值为9.

解法2 aa-1+4bb-1=11-1a+41-1b，设m=1-1a，n=1-1b，则1a=1-m，1b=1-n

（0＜m＜1，0＜n＜1），此题转化为已知正数m，n 满足m+n=1，求1m+4n 的最

小值. 1m+4n=1·1m+4n=（m+n）1m+4n=nm+4mn+5（这一步用了1 的代换）.

nm+4mn+5≥2nm·4mn+5=9 当且仅当m=13，n=23 时取等号，

因此aa-1+4bb-1 的最小值为9.注此题也可用消元法，还可以利用权方和不等

式求解.

通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信

心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑、善于思

考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科

学价值、應用价值、文化价值和审美价值［1］.在数学的美育教育教学过程

中，实际上已经融入了课程目标，数学之美愉悦了学生心灵，激发了学生的积

极学习心理，提高了学生学习的动机，充分调动了学生的学习兴趣，学生就会

产生愉快、喜爱的情感，就会热爱数学，热爱生活，对前途充满期望，不畏艰

辛，努力攀登.

Reference

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017 年版2020 年修订

［M］.北京：人民教育出版社，2018.8

作者简介 张昌金（1968—），男，四川资阳人，本科，高级教师，四川省特

级教师，四川省骨干教师，成都市优秀教师，内江市优秀教师；从事高中数学

教学与研究工作.

-全文完-