微专题深度分析系列08 重庆一中•李红林 教师交流QQ 群：485619231 第 1 页 共 2 页

分类讨论的基本策略及操作程序

--------微专题深度分析系列08

（山东省滨州市2016 高三3 月模拟）已知函数



2

ln1.f xxaxxaR

（Ⅰ）当的单调区间；

1a 时，求函数



yf x

（Ⅱ）设函数



2

1g xf xx，当

2

0,xe 

时，是否存在实数a ，使得函数

g x 的最小值为4？若存在，求

出a 的值，若不存在，请说明理由.

简析：（1）

( )f x 在(1,

)上为增函数；在(0,1) 上为减函数

(导数求最值端点值与极值比较导函数零点：①存在性；②在定义域内？③零点大小)

（2），

11ax

( )ln2( )g xaxxg xa

xx

2

0,xe 

法一（分类讨论）：1.当时，则在，( )，

0a 

1

( )0( )g xg xxe

x

22

0,e 上为减函数，g x 有最小值

2

()04g e

故不适合题意。（导函数零点不存在）

0a 

2.当时，则（导函数零点是否在定义域内，

0a 

1

( )0g xx

aa

2

1

0,e

？）

①若时，则在，( )，故

0a 0a 

1ax

( )0g x( )g x0,e 上为减函数，g x 有最小值

x

22

xe

22

()4g eae

不适合题意。（导函数零点在

2

0,e 左侧）

②若即时，则在，( )

222

1

e

a 

2

1

0a( )0g x( )g x0,e 上为减函数，故当g x 有最小值

e

1ax

x

xe

22

2

4

()4g eaea

e

，与矛盾，故不适合题意。（导函数零点在

22

11

0a0a0,e 右侧）

ee

2

③若即时，则在

2

11

0ea(0]，上为减函数，

ae

2

111

(0,)( )0( )xg xg x(,]( )0( )xeg xg x

aaa

2

在上为增函数，故当时，( )，所以a适合题意。（导函数

2

111

[,]exg x 有最小值

aaa

1

a

( )1ln24gae

e

零点在适合题意

2

0,e 内），综上，存在a

e

法二（特殊值探求必要条件）：由函数( )，

ln2g xaxx0,xe (1)42ga

2

的最小值为4

又

111ax1

( )ln2( )0g xaxxg xax(0, )( )0( )xg xg x

xxaa

1

0, 20,e 





2

，则

在上为减函数，在上为增函数，故当时，

11

(0]，[,]ex( )g x 有最小值

aa

2

11

(,]( )0( )xeg xg x

aa

2

11

( )1ln24gae

aa

，所以a适合题意

e

点评：1.分类讨论是重要的数学思想之一，分类讨论的原则为：死去活来，按需分类；分类讨论的操作程序为：有需

求，无定论，则分类。此题所涉及的知识为：最值端点值与极值比较极值点导函数零点（①存在性；②在定义

域内？③零点大小)，在操作层面上，第一步有确定导函数是否存在零点的需求（方程是否有实根），而没有固

10ax 

定的结论，故需要分类讨论零点存在性；第二步有确定导函数零点是否在定义域内的需求（），也没有固定

2

1

(0,]?e

a 

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的结论，一共有三种情况，实根1分别在区间的左、中、右，故接下来讨论这三种情况即可。分类讨论的难点在

a

2

(0,]e

于明白需求在哪里，在于弄清分类的标准？解决之道在于对涉及到的知识不能模糊而一知半解，要系统清晰全面，这样

很容易找到分类的标准，明白讨论什么，故有“死去活来”之说。一般地，之所以分类讨论，一种在于涉及到的公式、

定理及法则的需要，如等比数列前n 项和公式，不等式乘法次方开方法则，另一种在于操作程序的需要，如不同类型的

不等式解法不同等。

2.由于分类讨论解题的步骤较多，所以难于不重不漏完整解决，是否可以避免分类讨论？其中之一就是本题法二的思

路，先通过特殊值探求必要条件，从而缩小参数的范围，有望减少分类的层级数，减少解答步骤，缩短解题长度，以达

到降低难度的目的

同步练习：（2013 北京丰台二模数学理科）已知函数



2

1

( )2ln(21)f xxaxax aR

2

.

(Ⅰ)当时,求函数

1

2

a 

( )f x 在[1, ]

e 上的最大值和最小值;

(Ⅱ)讨论

( )f x 的单调性.